Matrices

Contenido de esta página:

• Introducción
• Matriz Identidad
• Matriz Diagonal
• Matriz Triangular
• Matriz Traspuesta
• Matriz Adjunta
• Matriz Simétrica
• Matriz Antisimétrica
• Matriz Definida Positiva
• Matriz Diagonalmente Dominante por Filas (o Columnas)
• Matriz Hessenberg
  

  Matriz identidad

  Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) formada por unos en la diagonal y ceros en las demás entradas (posiciones). La representamos por I_n donde n es la dimensión de la matriz.

  

  Propiedades:

  • Es el neutro del producto de matrices. Es decir, para toda matriz A de dimensión m x n,

    

  • Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma

    

  • Es regular y su inversa es ella misma.
  • Es una matriz permutación.
  • Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.

  Notaciones habituales:

  

  Matriz diagonal

  Todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal, esto es, los elementos que tienen el mismo número de fila que de columna.

  Una matriz A diagonal de dimensión m x n que tiene por elementos de la diagonal a los elementos del vector v se le denota por

  

  Ejemplos

  Propiedades:

  • Son un caso particular de las matrices triangulares.
  • La matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensión m x n es la matriz diagonal de dimensión n x m con la misma diagonal.
  • En las matrices cuadradas, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

    

    con lo que son regulares si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

    

  • Potencias (para las cuadradas)

    

  • Producto de matrices diagonales: Sean las matrices A y B diagonales de dimensiones respectivas m x n y n x t, su producto es una matriz diagonal de dimensión m x t

    

  • Los autovalores (valores propios) de las matrices diagonales cuadradas son los elementos de la diagonal.
    

    Matrices triangulares

    Distinguimos dos tipos:

    • triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal de la matriz son 0, es decir,

      

    • triangular inferior: todos los elementos por arriba de la diagonal de la matriz son 0, es decir,

      

    Ejemplos
    Triangular superior	Triangular inferior

    Propiedades de las matrices triangulares

    • La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.
    • Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal

      

      Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

      

    • La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).
    • El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
    • Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.
      

      Matriz traspuesta

      La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n es una matriz de dimensión n x m que tiene por columnas a las filas de A. Se denota como A^T (o A’ si la matriz es real).

      

      Ejemplos

      Propiedades de la matriz traspuesta

      • Traspuesta de la traspuesta

        

      • Traspuesta de la suma

        

      • Traspuesta del producto

        

      • Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica

        

      • El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta

        

        Matriz adjunta

        Sea A una matriz de cuadrada de dimensión n

        

        se define su matriz adjunta como

        

        donde A^{i , j} es la matriz que resulta al quitar la fila i y columna j a A.

        Al elemento ad _{i , j} se le denomina ( i , j )– cofactor (o adjunto) de la matriz A.

        Propiedades de la matriz adjunta:

        • Adjunta de la identidad

          

        • Adjunta de la traspuesta

          

        • Adjunta del producto

          

        • Si A es de dimensión n y k un escalar

          

        • Si A es regular, su inversa es

          

          Esta propiedad se usa con frecuencia para el cálculo de la inversa: ejemplos.

        Ejemplo de matriz adjunta

        Matriz simétrica Una matriz A cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta. Es decir, Ejemplo   Propiedades de las matrices simétricas La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica. La adjunta de una simétrica es simétrica. La suma de simétricas es simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo. Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales. Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales. Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizablemediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir, Matriz antisimétrica Una matriz cuadrada A es antisimétrica si es igual a la opuesta de su adjunta, es decir Matriz definida positiva Una matriz A de dimensión m x n es definida positiva si para todo vector x = ( x1 ,…, xn) se cumple Si la desigualdad se cumple con el signo ≥ , diremos que es semi definida positiva. Matriz (estrictamente) diagonalmente dominante por filas o columnas Una matriz A de dimensión m x n es diagonalmente dominante por filas si diremos que los es por columnas si Diremos que los son estrictamente si la desigualdad se cumple de forma estricta: >. Matriz Hessenberg Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg superior si todos los elementos por debajo de la diagonal -1 son nulos. Recordamos que la diagonal -k es la diagonal número k por debajo de la diagonal (principal). Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg inferior si todos los elementos por arriba de la diagonal -1 son nulos. Recordemos que la diagonal k es la diagonal número k por arriba de la diagonal (principal). Ejemplos Hessenberg superior Hessenberg inferior