Contenido de esta página:

  • Introducción
  • Matriz Identidad
  • Matriz Diagonal
  • Matriz Triangular
  • Matriz Traspuesta
  • Matriz Adjunta
  • Matriz Simétrica
  • Matriz Antisimétrica
  • Matriz Definida Positiva
  • Matriz Diagonalmente Dominante por Filas (o Columnas)
  • Matriz Hessenberg
  • Matriz identidad

    Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) formada por unos en la diagonal y ceros en las demás entradas (posiciones). La representamos por In donde n es la dimensión de la matriz.

    matriz identidad

    Propiedades:

    • Es el neutro del producto de matrices. Es decir, para toda matriz de dimensión m x n,

    • Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma

      matriz idempotente

    • Es regular y su inversa es ella misma.
    • Es una matriz permutación.
    • Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.

    Notaciones habituales:

    delta de Kronecker

  • Matriz diagonal

    Todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal, esto es, los elementos que tienen el mismo número de fila que de columna.

    Una matriz A diagonal de dimensión m x n que tiene por elementos de la diagonal a los elementos del vector v se le denota por

    Ejemplos

    Propiedades:

    • Son un caso particular de las matrices triangulares.
    • La matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensión m x n es la matriz diagonal de dimensión n x m con la misma diagonal.
    • En las matrices cuadradas, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

      con lo que son regulares si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

    • Potencias (para las cuadradas)

    • Producto de matrices diagonales: Sean las matrices A y B diagonales de dimensiones respectivas m x n y n x t, su producto es una matriz diagonal de dimensión m x t

    • Los autovalores (valores propios) de las matrices diagonales cuadradas son los elementos de la diagonal.
    • Matrices triangulares

      Distinguimos dos tipos:

      • triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal de la matriz son 0, es decir,

        definicion triangular superior

      • triangular inferior: todos los elementos por arriba de la diagonal de la matriz son 0, es decir,

        definicion triangular inferior

      Ejemplos
      Triangular superior Triangular inferior
      ejemplo triangular superior ejemplo triangular inferior

      Propiedades de las matrices triangulares

      • La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.
      • Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal

        propiedades matrices triangulares

        Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

        propiedades matrices triangulares

      • La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).
      • El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
      • Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.
      • Matriz traspuesta

        La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n es una matriz de dimensión n x m que tiene por columnas a las filas de A. Se denota como AT (o A’ si la matriz es real).

        definición matriz traspuesta

        Ejemplos
        ejemplo matriz traspuesta

        Propiedades de la matriz traspuesta

        • Traspuesta de la traspuesta

          propiedades matriz traspuesta

        • Traspuesta de la suma

          propiedades matriz traspuesta

        • Traspuesta del producto

          propiedades matriz traspuesta

        • Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica

          propiedades matriz traspuesta

        • El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta

          propiedades matriz traspuesta

        • Matriz adjunta

          Sea A una matriz de cuadrada de dimensión n

          matriz adjunta

          se define su matriz adjunta como

          matriz adjunta

          donde Ai , j es la matriz que resulta al quitar la fila i y columna j a A.

          Al elemento ad i , j se le denomina ( i , j )– cofactor (o adjunto) de la matriz A.

          Propiedades de la matriz adjunta:

          • Adjunta de la identidad

            propiedades matriz adjunta

          • Adjunta de la traspuesta

            propiedades matriz adjunta

          • Adjunta del producto

            propiedades matriz adjunta

          • Si A es de dimensión n y k un escalar

            propiedades matriz adjunta

          • Si A es regular, su inversa es

            propiedades matriz adjunta

            Esta propiedad se usa con frecuencia para el cálculo de la inversa: ejemplos.

          Ejemplo de matriz adjunta
          ejemplo de matriz adjunta

           

          Matriz simétrica

          Una matriz A cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta. Es decir,

          matriz simétrica

          Ejemplo
          matriz simétrica

           

          Propiedades de las matrices simétricas

          • La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
          • La adjunta de una simétrica es simétrica.
          • La suma de simétricas es simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
          • Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
          • Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
          • Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizablemediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir,

            matriz simétrica

          • Matriz antisimétrica

            Una matriz cuadrada A es antisimétrica si es igual a la opuesta de su adjunta, es decir

            matriz antisimétrica

          • Matriz definida positiva

            Una matriz A de dimensión m x n es definida positiva si para todo vector x = ( x,…, xn) se cumple

            matriz definida positiva

            Si la desigualdad se cumple con el signo ≥ , diremos que es semi definida positiva.

            Matriz (estrictamente) diagonalmente dominante por filas o columnas

            Una matriz A de dimensión m x n es diagonalmente dominante por filas si

            matriz diagonalmente dominante

            diremos que los es por columnas si

            matriz diagonalmente dominante

            Diremos que los son estrictamente si la desigualdad se cumple de forma estricta: >.

            Matriz Hessenberg

            Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg superior si todos los elementos por debajo de la diagonal -1 son nulos. Recordamos que la diagonal -k es la diagonal número k por debajo de la diagonal (principal).

            Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg inferior si todos los elementos por arriba de la diagonal -1 son nulos. Recordemos que la diagonal k es la diagonal número k por arriba de la diagonal (principal).

            Ejemplos
            Hessenberg superior
            matriz Hessenber
            Hessenberg inferior
            matriz Hessenber